在重力的作用下，经过一段时间，一个小球可以由一个轨道从高处的一个位置到达低处的一个位置。那么，在初末位置不变的前提下，哪一个轨道才能让小球最快地到达目标点呢？

几个世纪前的物理学家给出了答案：无论初末位置如何，这个使小球最快到达目标点的曲线都是摆线或者摆线的一部分。摆线，又称旋轮线。如果一个圆盘在地上沿直线无滑动地滚动，那么其圆周上固定的一点相对地面的轨迹就是摆线。匀速直线运动和与其速率相同的匀速圆周运动叠加形成的合运动——也就是参数方程所描述的运动——的轨迹就是一条摆线。摆线有上凸摆线和下凸摆线两种（下图就是一段下凸摆线），接下来提到的摆线均是下凸摆线。

【资料图】

下面，我们将推导最速降线是摆线。

一.推导基本思路：运动的合成与分解

物体的运动（包括位置，速度，加速度）都可以进行符合平行四边形法则的合成或分解。我们可以将物体的受力和运动分解为多个不相关的部分以简化问题。这一方法在物理中使用颇多。

二.最速降线是摆线的证明：设起始点A和目标点A'的纵向距离为Δy，横向距离为Δx

1.对于的情况（这个情况刚好对应着半条摆线）：

最初小球速度为0，将其分解为水平向左的和水平向右的，使  （此举意在凑出一个摆线）速度1对应分运动1，速度2对应分运动2，将物体受到的重力加速度和支持力加速度放在分运动1上，让分运动2为向右的匀速直线运动。当小球下落高度为AH=h时:，得到，所以与和的模长为一个定值（也就是说他们的和在一个圆上，下图设这个圆为圆P，从P出发）。作出运动1的分析图

图中，M点代表分运动1的所在位置，圆P的半径为此时物体的总速度(由于此图中长度存在不同单位）。此时如果M相对A的角速度（逆时针记为正）最大，则垂直于AI的分量的大小最大，则EP垂直于AM，由几何关系得到，

设∠AMH=，则M相对A的角速度为：         （1）

最右式:                （2）     

（2）中取等时，另外，它求出的最大值是与h无关的，也就是说任意时刻M的角速度都不可能大于这个值。

其中，，所以取等时，

图中AH=h，AC=,由相似三角形容易证明，

所以，又因为AOB和都小于90°，

故式（2）中取等时=AOB=∠ABH，即M在圆周上。

另外，由于式（1）中还有一个不等号，我们不能确定式（2）中的值能否取到。

这时候我们看一个情况：M一直沿着圆O作匀速圆周运动（这是可行的，因为如果支持力像洛伦兹力一样，垂直于速度方向且正比于速度大小，就可以让v1改变方向而不改变大小），则M相对O的角速度,由于M相对A的角速度为相对O的角速度的一半（圆周角=二分之一圆心角），可知

它就是我们在式（2）求出的的最大值，也就是说我们可以让（1）和（2）中的不等号同时取等！

那么，在一直作匀速圆周运动的M任意时刻都对应所有情况中最大的角速度（这是一个定值），也就是说M可以最快地到达底部的C处。在这个过程中的任意时刻，M的速度大小都等于一开始赋予它的v1的大小。M作与水平分运动2速率相同的匀速圆周运动，合运动轨迹是摆线。当分运动1走完了，分运动2也走完了匀速圆周运动的一半，刚好到达A下方处，也就是说此时走匀速圆周运动的M（相对A的角速度时刻处在最大值）已经到达目标点了。走任何其他路径的点M，总有某个时刻相对A的角速度达不到最大值，就不会比作匀速圆周运动的M更快到达A点。这说明这种情况下（指）摆线是最速降线。

2.对于的情况：

在1中我们已经知道走匀速圆周运动的M任意时刻的角速度都处于最大值，这说明不光是在A正下方的点，圆周上任意的点都是它最快到达。我们只需要让目标点在一条不完整的摆线上就可以了。而摆线起点发出的任意一条向下方的射线都与摆线有交点，所以对于任意不高于起点的目标点，都可以用一条摆线的一部分将它与起点相连（如果目标点在起点正下方，只要让摆线无穷大即可）。如此一来，我们就可以用摆线将任意目标点与起始点相连。

综上，知摆线是的最速降线。

三.关于最速降线的一些其他性质：

等时性，从一条摆线上任意点同时静止出发的小球，到达摆线最低点用时相同。这一特性的运动学证明（几何吧大佬写的，非常地简洁）比较美观，建议欣赏。

给定初速度大小和初末位置（可以高于初位置，但不能高于这个速度能到达的最大高度），最快的轨迹仍然是摆线，我们可以类似（2）的将初末位置放在一条符合条件的摆线上。

带电粒子在匀强磁场-匀强电场或者匀强磁场-匀强重力场中的运动也是最速降线。（本证明的启发便源于处理复合场运动的配速法）

注：本文修改自《中学物理教学参考2023第二期》中《最速降线问题解法探讨》

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